Ôn tập lại lý thuyết và hướng dẫn cách giải các dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác ở lớp 10 qua các ví dụ có lời giải chi tiết.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10
Chúng ta cần nhớ các công thức và định lý trước khi áp dụng vào giải bài tập.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí côsinTrong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ và $AB = c.$ Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A.$ ${b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca.\cos B.$ ${c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos C.$
Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác $ABC$ và $ADC$ ta có: $A{B^2} + B{C^2} = 2B{E^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}$ $(1).$ $C{D^2} + D{A^2} = 2D{E^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}$ $(2).$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}$ $ = 2\left( {B{E^2} + D{E^2}} \right) + A{C^2}.$ Mặt khác $EF$ là đường trung tuyến tam giác $BDF$ nên: $B{E^2} + D{E^2} = 2E{F^2} + \frac{{B{D^2}}}{2}.$ Suy ra $A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}$ $ = A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2}.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.\cos C + c.\cos B.$ b) $\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B.$ c) ${h_a} = 2R\sin B\sin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).$ e) ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} – {{(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} )}^2}} .$
a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.\frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}$ $ + c.\frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2ca}}$ $ = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2} + {c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2a}}$ $ = a = VT.$ b) $\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B$ $ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{b}{{2R}}.\cos C + \frac{c}{{2R}}.\cos B$ $ \Leftrightarrow a = b\cos C + c\cos B$ (câu a). c) ${h_a} = 2R\sin B\sin C$ $ \Leftrightarrow \frac{{2S}}{a} = 2R\frac{b}{{2R}}\sin C$ $ \Leftrightarrow S = \frac{1}{2}ab\sin C$ (đúng). d) Áp dụng công thức đường trung tuyến. e) $\sqrt {A{B^2}.A{C^2} – {{(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} )}^2}} $ $ = AB.AC\sqrt {1 – {{\cos }^2}A} $ $ = AB.AC.\sin A.$ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}.$ b) Góc $A$ vuông $ \Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$
a) $b + c = 2a$ $ \Leftrightarrow \frac{{2S}}{{{h_b}}} + \frac{{2S}}{{{h_c}}} = 2.\frac{{2S}}{{{h_a}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{2}{{{h_a}}}.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) – {b^2}}}{4}$ $ + \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) – {c^2}}}{4}$ $ = 5.\frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2}}}{4}.$ $ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.
Xem thêm: Uống Nhiều Vitamin B5 Có Tốt Không, Vitamin B5 Có Tác Dụng Gì Với Sức Khỏe Chúng Ta
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn ${a^4} = {b^4} + {c^4}.$ Chứng minh rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. b) $2{\sin ^2}A = \tan B\tan C.$
a) Dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ \Rightarrow $ góc $A$ là lớn nhất. Và ${a^4} = {b^4} + {c^4} Mặt khác theo định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}$ $ \Rightarrow \cos A > 0.$ Do đó $\widehat A b) $2{\sin ^2}A = \tan B\tan C$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}A\cos B\cos C = \sin B\sin C.$ $ \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2}.\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}.\frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}$ $ = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$ $ \Leftrightarrow {a^4} = {b^4} + {c^4}.$
Bài 4: Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: a) $S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C.$ b) $S = Rr(\sin A + \sin B + \sin C).$
a) Ta có $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ $ = \frac{{2R\sin A.2R\sin B.2R\sin C}}{{4R}}$ $ = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C.$ b) $S = pr$ $ = \frac{{a + b + c}}{2}r$ $ = \frac{{2R\sin A + 2R\sin B + 2R\sin C}}{2}r.$
Bài 5: Cho tứ giác lồi $ABCD$, gọi $\alpha $ là góc hợp bởi hai đường chéo $AC$ và $BD.$ Chứng minh diện tích $S$ của tứ giác cho bởi công thức: $S = \frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha .$
Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo. Khi đó: $S = {S_{ABI}} + {S_{BC1}} + {S_{CDI}} + {S_{DAI}}.$ $ = \frac{1}{2}AI.BI.\sin \widehat {AIB}$ $ + \frac{1}{2}BI.CI.\sin \widehat {BIC}$ $ + \frac{1}{2}CI.DI.\sin \widehat {CID}$ $ + \frac{1}{2}DI.AI.\sin \widehat {DIA}.$ Ta có các góc $\widehat {AIB}$, $\widehat {BIC}$, $\widehat {CID}$ và $\widehat {DIA}$ đôi một bù nhau suy ra: $\sin \widehat {AIB} = \sin \widehat {BIC}$ $ = \sin \widehat {CID} = \sin \widehat {DIA}$ $ = \sin \alpha .$ Do đó $S = \frac{1}{2}BI.AC.\sin \alpha $ $ + \frac{1}{2}ID.AC.\sin \alpha $ $ = \frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha .$
DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, công thức đường trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\sin C = 2\sin B\cos A.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.
Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $\sin C = 2\sin B\cos A$ $ \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.
Ta có: $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$ $ \Leftrightarrow \sin A(\cos B + \cos C)$ $ = \sin B + \sin C.$ $ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2ca}} + \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}} \right)$ $ = \frac{{b + c}}{{2R}}.$ $ \Leftrightarrow b\left( {{c^2} + {a^2} – {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} – {c^2}} \right)$ $ = 2{b^2}c + 2{c^2}b.$ $ \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2} – {a^2}b – {a^2}c = 0$ $ \Leftrightarrow (b + c)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2}(b + c) = 0.$ ${b^2} + {c^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$
Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau: a) $a\sin A + b\sin B + c\sin C$ $ = {h_a} + {h_b} + {h_c}.$ b) $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right).$
a) Áp dụng công thức diện tích ta có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}a{h_a}$ suy ra: $a\sin A + b\sin B + c\sin C$ $ = {h_a} + {h_b} + {h_c}$ $ \Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ca}} + c.\frac{{2S}}{{ab}}$ $ = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}.$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca$ $ \Leftrightarrow {(a – b)^2} + {(b – c)^2} + {(c – a)^2} = 0.$ $ \Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. b) Ta có: $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right).$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B + 1} \right).$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)$ $ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B} \right)^2}$ $ = 4{\sin ^2}A{\sin ^2}B.$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = {\sin ^2}B$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow a = b$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $C.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu ${h_a} = c\sin A.$
Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}bc\sin A$ ta có: ${h_a} = c\sin A$$ \Leftrightarrow b{h_a} = a{h_a}$ $ \Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C.$
Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu $4m_a^2 = b(b + 4c\cos A).$
Sử dụng công thức đường trung tuyến và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4c\cos A)$ $ \Leftrightarrow 4\frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2}}}{4}$ $ = b\left( {b + 4c.\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right)$ $ \Leftrightarrow a = b.$
Bài 3: Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều khi và chỉ khi: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 36{r^2}.$
Ta có: ${r^2} = \frac{{{S^2}}}{{{p^2}}}$ $ = \frac{{(p – a)(p – b)(p – c)}}{p}.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ \le {\left( {\frac{{3p – a – b – c}}{3}} \right)^3}$ $ = {\left( {\frac{p}{3}} \right)^3}.$ Suy ra $36{r^2} \le \frac{{4{p^3}}}{{3p}}$ $ = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}$ $ \le {a^2} + {b^2} + {c^2}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ hay tam giác $ABC$ đều.
Bài 4: Cho tam giác $ABC.$ Tìm góc $A$ trong tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ thoả mãn hệ thức: $b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} – {a^2}} \right)$ $(b \ne c).$
$b\left( {{b^2} – {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} – {a^2}} \right)$ $ \Leftrightarrow {b^3} – {c^3} = {a^2}(b – c)$ $ \Leftrightarrow {b^2} + bc + {c^2} = {a^2}.$ Theo định lí côsin thì ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A$ $ \Leftrightarrow \cos A = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \widehat A = {60^0}.$
